Для обеспечения прочности балки необходимо, чтобы наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения при изгибе в опасном сечении, т. е. в сечении, где Мтт имеет наибольшее значение, не превосходили соотвествующих допускаемых напряжений (рассматриваются только балки с постоянным по всей длине поперечным сечением).Для хрупких материалов (например, чугуна) допускаемые напряжения на растяжение и сжатие различны: [ос] в 3—5 раз больше [0р], поэтому для балок из таких материалов обычно применяют сечения, не симметричные относительно нейтральной оси. При этом сечение располагают таким образом, чтобы пр < /гс, т. е. чтобы обеспечивалось неравенство max ap<maxac.
Обозначим (см. рис. 6.18) hp — расстояние до наиболее удаленного от нейтральной оси растянутого волокна, hz — расстояние до наиболее сжатого волокна.
Величина Wx называется осевым моментом сопротивления, или моментом сопротивления при изгибе. Момент сопротивления является геометрической характеристикой поперечного сечения балки, определяющей ее прочность при изгибе.
При чистом плоском (простом) изгибе в поперечных сечениях балки возникают только изгибающие моменты в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей поперечного сечения балки.
Изгибающий момент представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению.
Чтобы установить закон распределения и величину внутренних сил, возникающих в поперечном сечении балки, уравнений статики недостаточно. Необходимо использовать условия деформации балки.
Если подвергнуть чистому плоскому изгибу балку (образец) с нанесенной на ее поверхности сеткой, то обнаружится следующее (рис. 6.16):
1) линии на поверхности балки после деформации повернутся на некоторый угол dQ, оставаясь прямыми. Можно полагать, что и поперечные сечения балки, плоские до деформации, останутся плоски-Ми и после деформации (гипотеза плоских сечений). Расчеты, основание на таком предположении, хорошо согласуются с опытом;
2) волокно ab на выпуклой стороне балки удлиняется, что свид. растяжении этого волокна, а волокно укорачивается, чтоо свидетельствует о его сжатии. Длина же волокна ей останется без изменения, что свидетельствует о том, что это волокно не испытывает ни растяжения, ни сжатия.
Слой балки (на уровне волокна cd), не испытывающий при изгибь ни растяжения, ни сжатия, называется нейтральным слое м. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки (рис. 6.17) называется нейтральной осью (линией). Пересечение силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения называется силовой линией.
Из рассмотренных результатов опытов следует, что волокна балки деформируются различно: большие деформации испытывают волокна, более удаленные от нейтрального слоя. Покажем, что по высоте сечения балки деформации изменяются по линейному закону.
Поперечная сила в сечении балки, например в сечении (рис. 6.7, а), считается положительной, если равнодействующая внешних
сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа __ сверху
вниз; и отрицательной — в противоположном случае (рис 6.7,6).
Изгибающий момент в сечении балки, например в сечении тп (рис. 6.8, о), считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по часовой стрелке, а справа — против часовой стрелки, и отрицательым — в противоположном случае (рис. 6.8, б). Моменты, изображенные на рис. 6.8, а, изгибают балку выпуклостью вниз, а моменты, изображенные на рис. 6.8, б, изгибают балку выпуклостью
вВерх. Это можно легко проверить, изгибая тонкую линейку. Отсюда следует другое, более удобное для запоминания пра вило знаков для изгибающего момента. Изгибающий момент считается положительным, если
в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз Очевидно, волокна балки, расположенные в вогнутой части, испы тывают сжатие, а в выпуклой — растяжение. Таким образом, условливаясь откладывать положительные ординаты эпюры вверх от оси, мы получаем, что эпюра оказывается построенной вдоль сжатых волокон балки.
Как уже было сказано, при плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают два внутренних усилия (внутренних силовых фактора) — изгибающий момент Мизг и поперечная сила Q. Для их определения применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например на расстоянии
г от левой опоры (рис. 6.6, а). Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части.
Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиями: изгибающим моментом Мшг и поперечной силой Q (рис. 6.6, б).
Для определения величины Ми3г и Q используем два уравнения равновесия:
0; Q = P1-A,
Таким образом,
1) поперечная сила Q в поперечном сечении балки численно равна алгебраической
сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;
2) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.
Алгоритм:
1. Приравняем нулю сумму проекций на ось z всех сил, действующих на балку: E Z = 0.
2. Приравняем нулю сумму проекций на ось y всех сил, действующих на балку: E Y = 0.
3.Составляем третье уравнение равновесия. Приравняем нулю сумму моментов всех сил относительно какой-нибудь точки, например относительно точки А:
2 МА = 0; -МА-РА -qa3 (аz + аy + q) = 0,
Опоры балок, рассматриваемых как плоские системы, бывают трех основных типов.скости качения. Схематическое изображение подвижной шарнирной опоры дано на рис. 6.2, б.
Подвижные опоры дают возможность балке беспрепятственно изменять свою длину при изменении температуры и тем самым устра-ляют возможность появления температурных напряжений.
1. Подвижная шарнирная опора (рис. 6.2, а). Такая опора не препятствует вращению конца балки и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна к плоскости качения и проходит через центр катка.
2. Неподвижная шарнирная опора (рис. 6.2, в). Такая опора допускает вращение конца балки, но устраняет поступательное перемещение ее в любом направлении.
* ■ Возникающую в ней реакцию можно разложить на две со-ставляющие — горизонтальную и вертикальную.
3. Жесткая заделка, или защемление (рис. 6.2, г). Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре может в общем случае возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (вертикальную и горизонтальную) и момент защемления(реактивный момент).
Балка с одним заделанным концом называется консольной балкой, или просто консолью.
Если опорные реакции могут быть найдены из одних уравнений статики, то балки называют статически определимыми. Если же число неизвестных опорных реакций больше, чем число уравнений статики, возможных для данной задачи, то балки называют статически неопределим ы.м и. Для определения реакций в таких балках приходится составлять дополнительные уравнения — уравнения перемещений.
Весьма часто стержень подвергается действию поперечной нагрузки или внешних пар, плоскость действия которых проходит через ось стержня (рис. 6.1).
При этом в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты, т. е. внутренние моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости поперечного сечения стержня.
При действии такой нагрузки ось стержня искривляется.
Указанный вид нагружения называют изгибом. Стержни, работающие в основном на изгиб, обычно называют балками. Изгиб называют чистым
если изгибающий момент является единственным внутренним усилием, возникающим в поперечном сечении стержня.
Чаще, однако, в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающими моментами возникают также и поперечные силы. Такой изгиб называют поперечным.
Если плоскость действия изгибающего момента (силовая плоскость) проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения стержня, изгиб называют простым, или плоским (применяется также название: прямой изгиб).
Если плоскость действия изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей сечения, изгиб называется косым.
Далее будет показано, что при плоском изгибе ось балки и после Деформации остается в плоскости внешних сил — силовой плоскости. При косом изгибе плоскость деформации не совпадает с силовой плоскостью.
Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого простого изгиба; в дальнейшем рассмотрим более общий случай изгиба — поперечный изгиб. Косой изгиб относится к сложному сопротивлению стержней и будет рассмотрен в главе IX.
Из двух сечений с одним и тем же полярным моментом сопротивлег ния (или в случае некруглого сечения одним и тем же WK), а следовательно, с одним и тем же допускаемым крутящим моментом, рациональным будет сечение с наименьшей площадью, т. е. обеспечивающееКак видим, наименее выгодными при кручении являются швеллеры, двутавры, узкие прямоугольные сечения и наиболее выгодными — круглые кольцевые, особенно при малой толщине стенок.
Из этой таблицы видно, что применение трубчатых тонкостенных стержней дает большую экономию металла.
При подборе сечений по жесткости в качестве критерия экономичности профиля может служить безразмерная величина
При резком изменении контура поперечного или продольного сечения вала возникает концентрация напряжений. Влияние концентрации напряжений учитывается коэффициентом концентрации либо
который определяется теоретически — методами теории упругости, либо экспериментально.
На рис. 5.18 дан график для определения величины теоретического коэффициента концентрации напряжений ах при кручении вала с сопряжением частей по круговой галтели радиуса р. Как видим, при резких переходах, т. е.
при малых значениях , ве личина ах сильно возрастает.При известном коэффициенте концентрации напряжений максимальное касательное напряжение для стержня круглого поперечного сечения определяется по формуле
Dmax = ОУ —w V
Влияние концентрации напряжений учитывается:
а) при действии статических нагрузок для материалов малопластичных и склонных к хрупкому разрушению;
б) при действии переменных нагрузок (расчет на выносливость) для всех материалов.
Для уменьшения концентрации напряжений следует избегать резких изменений контура сечения, применяя в местах ступенчатого изменения диаметра стержня переходные кривые возможно большего радиуса.
Рис. 5.18
При кручении, так же как и при растяжении, встречаются задачи, которые не могут быть решены с помощью одних только уравнений равновесия. В таких задачах количество неизвестных превышает число уравнений равновесия. Порядок решения таких задач тот же самый, что и при решении статически неопределимых задач при растяжении (сжатии).
Рассмотрим для примера стержень с двумя заделанными концами (рис. 5.16, а). Такой стержень статически неопределим, так как для нахождения двух реактивных моментов, возникающих в заделках, статика дает лишь одно уравнение равновесия.
Отбросим одну заделку, заменив ее действие неизвестным моментом ■X (рис. 5.16, б). Дополнительное уравнение (называемое, как известно,уравнением деформации, или уравнением перемещений) получим из условия, что угол поворота сечения у отброшенной задеЛки, равный углу закручивания стержня под действием момента ЭЛ и X, равен нулю: Фв = 0.
В получившейся статически определимой системе поворот сечения В происходит под действием внешнего момента .и момента X.
Углы поворота сечений А и В равны нулю, а так как угол поворота сечения линейно зависит от расстояния, то полученные точки эпюры можно соединить прямыми линиями. Эпюры Мк и ф представлены на рис. 5.16, б и г.
Пример 5.5. Тонкостенная трубка из материала с модулем ‘ GB вставлена в другую, с модулем GH. Один конец получившейся конструкции заделан, а к другому приложен внешний момент ЗЛ, действующий на обе трубки (рис. 5.17). Определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях трубок.
Решение. Неизвестных крутящих моментов два: во внутренней трубке — Мк. в и в наружной трубке — Мк н.
Уравнение равновесия одно
(I)
Задача один раз статически неопределима. Составляем уравнение деформаций, приравнивая между собой углы поворота сечений на правом конце трубок (равные полным углам закручивания трубок):
фв = фн
